陶哲轩最新力作，在"当然数倒数之和是否为有理数"问题上取得一系列阐扬。

其中最引东说念主瞩指标一项恶果，即是诠释注解了一个相等反直观的臆测，居、然、是、对、的：

存在一个递加的当然数级数 ak，使得对大肆有理数 t，齐是有理数。（）

一位 Topos 琢磨所的数学物理学家John Carlos Baez在驳倒区绝不遮挡我方的景仰：

哇哦，这个论断太反直观了！

不外这也意味着这项琢磨相等道理。

为啥说这个论断相等反直观？

不错领会成，要使一个级数的和是有理数本来就很难，再加上大肆有理数 t 的偏移量，还让级数保握有感性，难度就又加几个数目级了。

需要知足对通盘有理数 t 齐斥地，而有理数有无限多个

每加多一个 t，就非常于加多一个经管条款

改革序列中任何一个数字 ak，齐会同期影响通盘 t 对应的级数和

数学家Kenneth Stolarsky偶然亦然如上所想的，是以淡薄了相背的Stolarsky 臆测。

面前，陶哲轩的论断非常于诠释注解了 Stolarsky 臆测是不斥地的。

确凿，数学的神奇之处就在于，有时看似不能能的事情实质上是可能的，仅仅管理决策可能超出了咱们的直不雅阐明。

那么，陶哲轩的智商是若何颠覆直观的？

迭代靠拢法管理无限维度问题‍‍‍‍‍‍‍‍‍

从论文提交历史不错看到，这项琢磨正本唯有Vjekoslav Kova č一个作家，琢磨的是两个特定级数的有感性问题。

陶哲轩加入后，匡助 Kova č 彭胀到了对通盘这个词 Ahmes 级数的琢磨。

正本唯有 6 页的短论文，也彭胀成了 28 页长篇论证……

除了论文以外，陶哲轩还在个东说念主博客上解释了他们的想路。

不是告成尝试构造这个级数，而是把问题升沉为琢磨一种面对，再使用"迭代靠拢"智商，镇定管理。

先来解释一下什么是Ahmes 级数。

Ahmes 级数是知足如下神态的无限级数，其中 ak 是一个严格递加的当然数序列。

由于大无数实数齐是跋扈数，东说念主们也会盼愿这么的级数"常常"亦然跋扈的，但很难细目一个特定级数的跋扈性。

当先，此前数学界已知说念，若是 a ₖ的增长速率比 C ( 2k ) 更快（对大肆常数 C），那么对应的 Ahmes 级数一定是跋扈数。

也即是存在一个明确的"增长速率分界线"，超越这个速率，级数势必跋扈。但接近这个速率时，仍可能找到有理的例子。

接下来，论文中标明了若是知足 a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ² ) ，意味着 a ₖ₊₁比 a ₖ ² 增长得慢得多。‍

那么不错找到一个可相比的级数 b ₖ，和 a ₖ是渐进关系，且∑ ( 1/b ₖ ) 是有理数。

这部摊派理了 Erd ő s 问题 #263：序列 a ₖ =22k 是否稳健这个性质，是否通盘增长速率不超越指数级的级数齐有这个性质。

因为条款 a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ² ) 不及以遮掩 a ₖ =22k 的情况，这个条款也不适用于通盘指数级或更慢增长的序列。

也即是a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ² ) 当作问题的分界线，"差少许"就能无缺的管理了。

在这之后，陶哲轩展示了一个新的变体论断：

若是级数 a ₖ知足：a ₖ₊₁ =O ( a ₖ ) （即下一项不会比刻下项增长太快） 且∑ ( 1/a ₖ ) 经管。

那么不错找到 b ₖ，使得：b ₖ =a ₖ +O ( 1 ) （即 b ₖ与 a ₖ只差一个有界的常数） 且∑ ( 1/b ₖ ) 是有理数。

这又和 Erd ő s 问题 #264 讨论：

其中 a ₖ =2k 时的情况被十足管理了，因为 2k 是指数增长。

问题中的第二部分，对于 a ₖ =k! 的情况，超出了刻下智商的才调领域。

新的分界线被定位到了指数增长。

就像这么……一步一步迭代靠拢，就到了Erd ő s 问题 #266，亦然更高维度的变体。

陶哲轩幸免了任何数论艰巨，主要依赖有理数集的可数更素性。（具体论证经由略）

最终，Stolarsky 臆测被升沉为一个无限维的问题。

陶哲轩让维度数 d 随 k 增长，但增长的速率要保握够慢，这么既保证经管又保证更素性。

不是陶管理的第一个 Erd ő s 问题

前边提到，陶哲轩给出论断的的这个问题，是 Erd ő s 问题 #266。

由沃尔夫数学奖得回者、匈牙利数学家Paul Erd ő s（1913 年 3 月 26 日－1996 年 9 月 20 日）淡薄。

不外，这个问题的讨论发祥最早能追溯到古埃及期间——

古代埃及东说念主在进行分数运算时，只使用分子是 1 的分数。因此这种分数也叫作念埃及分数，或者叫单分子分数。

他们把通盘复杂分数，齐长远成单分子分数的和，举例 3/4，一定要长远成 3/4=1/2+1/4。

故而很长一段期间（大要几千年吧），数学史家齐坚握合计古埃及东说念主不会使用分数；当代数学家们也一度合计埃及东说念主之是以未能把算术和代数发展到较高水平，其分数运算之错乱（就瑕瑜要把真分数领会成单分子分数）亦然原因之一。

比及数学家们发现内部隐含了多么丰富的内容，也曾是两千多年后的后话了。

OK，让咱们回到 Erd ő s 问题和 Erd ő s 本东说念主。

Erd ő s 被誉为 20 世纪最敷裕创造力的数学家和数学臆测淡薄者之一，21 岁时就被授予数学博士学位，论文导师亦然冯 · 诺伊曼的恩师利波特 · 费杰尔（L é opold F é j é r）。

Erd ő s 一辈子互助了超越 500 位数学家，终身发表了约 1525 篇数学论文，数目之多，于今无东说念主能及。

他穷其一世，接力于并淡薄了突破数学、图论、数论、数学分析、靠拢表面、面对论和概率表面中的问题，其中大部单干作荟萃在突破数学规模，管理了该规模许多往常未管理的艰巨。

83 岁时，因腹黑病突发，Erd ő s 赔本在华沙的一个数学会议上。

如他所愿，他的墓志铭上写说念：我终于不再变笨了（V é gre nem butulok tov á bb）。

值得一提的是，Erd ő s 问题 #266 不是陶哲轩管理的第一个 Erd ő s 讨论问题。

2015 年 9 月，陶哲轩在 arXiv 上挂了一篇论文《The Erd ő s discrepancy problem》，秘书诠释注解了 Paul Erd ő s 在 20 世纪 30 年代淡薄的数论臆测"埃尔德什互异问题"存在。

埃尔德什互异问题于 1932 年被 Erd ő s 淡薄，此前困扰了学术界 80 多年。

与许无数论艰巨雷同，埃尔德什互异问题形容起来很陋劣，但诠释注解难度却很大。

粗豪点呈报它：

假如你有一个由 1 和 -1（举例由扔硬币立时产生）构成的数列和常数 C。你要寻找到一个饱和长的有限数列，使这一数列的总数大于常数 C。

专门想的是，为了阐明这个也曾的臆测，陶哲轩经过了多年手动计较和计较机尝试，还加入过一个专门琢磨它的小分队协力专研（固然那时失败了）。

最终，破题的灵感来自德国数学家尤威 · 斯特罗斯基在陶博客下的驳倒，长远陶琢磨的另一个问题可能与埃尔德什互异问题讨论。

"起始，我合计这种讨论仅仅名义的。"但陶哲轩很快活志到将新想路和已有的放荡连结在一说念，很可能得到问题的诠释注解。

这件事在当年当月，登上了 Nature，题为《数学天才管理了一个众人级谜题》。

更专门想的是，Erd ő s 和陶哲轩的因缘，能追溯到更更更早。

1985 年，72 岁的 Erd ő s 去澳大利亚讲学。

在阿德莱德大学（8 岁起，中学生陶哲轩用 1/3 的期间在该校学习数学、物理课程）的安排下，时年 10 岁的小陶哲轩拜见了 Erd ő s。

Erd ő s 端庄阅读了陶哲轩写的论文，并饱读吹他说："你是很棒的孩子，无间接力！"

自后，Erd ő s 还写了保举信，保举陶哲轩到普林斯顿大学攻读博士学位。

2010 年，英国卫报评比了两千多年来"宇宙十大数学天才"，合计他们的改进性发现改革着咱们的宇宙—— Erd ő s 和陶哲轩齐榜上闻明。

这两位数学寰球还有一张相等经典的合影：

2013 年，Erd ő s 寿辰 100 周年之际，陶哲轩在我方的博客上共享了一张当年和 Erd ő s 的迥殊合影，以表追悼和感恩。

One More Thing

But！

固然 #266 被陶给出了论断，但 Paul Erd ő s 还留住了好多问题没被管理，这些问题常常是他在与其他数学家的互助中淡薄的，也有些是他独自想考后酿成的。

这些问题涵盖了数论、组合数学、图论、概率论等多个数学规模。

面前，860 个问题中，还有 580 个问题等着被探索（去掉 #266 也还有 579 个）。这些问题别离培植了 0-10000 好意思元的奖金。

这些灿烂又迷东说念主的遗产，直到今天仍激发着每一位数学家，鞭策数学的超越，也让自后者从中得回新的视角和灵感。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2406.17593v3

参考贯穿：

[ 1 ] https://mathstodon.xyz/@tao/113559149269764165

[ 2 ] https://terrytao.wordpress.com/2024/11/27/on-several-irrationality-problems-for-ahmes-series/

[ 3 ] https://arxiv.org/pdf/1509.05363

[ 4 ] https://www.nature.com/articles/nature.2015.18441体育游戏app平台